درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

دایره یکی از شکل‌های مهم هندسی است که با تعریف و برخی ویژگی‌های آن در سال‌های قبل آشنا شده‌اید. می‌دانیم دایره، مجموعهٔ نقاطی از صفحه است که فاصلهٔ آنها از نقطهٔ ثابتی در همان صفحه، مقداری ثابت و مثبت باشد. این نقطهٔ ثابت را مرکز دایره و مقدار ثابت را اندازۀ شعاع دایره می‌نامیم. دایرهٔ $C$ را به مرکز $O$ و شعاع $r$ معمولاً با نماد $C(O,r)$ نمایش می‌دهیم.

در این درس به تحلیل برخی از ویژگی‌های دایره در دستگاه مختصات خواهیم پرداخت.

دایرهٔ $C(O,r)$ را به گونه‌ای در نظر بگیرید که مرکز آن نقطهٔ $O(\alpha ,\beta )$ و نقطهٔ $M(x,y)$ نقطهٔ دلخواهی روی آن باشد. می‌دانیم که فاصلهٔ مرکز دایره از تمام نقاط روی آن برابر با مقدار ثابت $r$ است.

بنابراین به کمک رابطهٔ فاصلهٔ دو نقطه که در سال‌های گذشته با آن آشنا شدیم، داریم:

$OM = \sqrt {{{(x - \alpha )}^2} + {{(y - \beta )}^2}} $

از طرفی $OM = r$

$ \Rightarrow {(x - \alpha )^2} + {(y - \beta )^2} = {r^2}$

بدین ترتیب اگر معادلهٔ دایرهٔ $C(O,r)$ به مرکز $O(\alpha ,\beta )$ و شعاع $r$ در دستگاه مختصات داده شده باشد، می‌توان وضعیت نقاط مختلف صفحه را نسبت به دایره بررسی کرد:

مثال:

الف) اگر مرکز دایره‌ای نقطهٔ $( - 2,1)$ و شعاع آن 3 باشد، معادلهٔ استاندارد دایره به شکل زیر خواهد بود:

${(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 9$

ب) اگر معادلهٔ دایره‌ای به شکل ${(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 4$ باشد، مختصات مرکز آن $(3, - 1)$ و اندازهٔ شعاع برابر با 2 است.
رسم شکل برعهدهٔ دانش‌آموزان است.

معادلهٔ گستردهٔ یک دایره

معادلهٔ دایرهٔ ${(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 1$ را در نظر بگیرید. این معادله را به کمک اتحادها می‌توان به شکل زیر ساده کرد:

${x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 = 1$

$ \to {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 12 = 0$

این رابطه را معادلهٔ گستردهٔ دایره یا معادلهٔ ضمنی دایره می‌نامیم.

بدیهی است که معادلهٔ استاندارد دایره و معادلهٔ گستردهٔ آن به یکدیگر قابل تبدیل‌اند.

مثال: فرض کنید معادلهٔ گستردهٔ یک دایره به شکل ${x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0$ باشد. با استفاده از مربع کامل کردن، سعی می‌کنیم معادلهٔ گسترده را به معادلهٔ استاندارد تبدیل کنیم. داریم:

${x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0$

$ \to ({x^2} - 6x) + ({y^2} + 2y) + 6 = 0$

$ \to {(x - 3)^2} - 9 + {(y + 1)^2} - 1 + 6 = 0$

$ \to {(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 4$

مختصات مرکز و شعاع این دایره را بنویسید و نمودار آن را رسم کنید.

معادلهٔ گستردهٔ یک دایره را به شکل ${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$ در نظر می‌گیریم. با تبدیل ${x^2} + ax$ و ${y^2} + by$ به دو مربع کامل داریم:

$({x^2} + ax) + ({y^2} + by) + c = 0$

$ \to {(x + \frac{a}{2})^2} - \frac{{{a^2}}}{4} + {(y + \frac{b}{2})^2} - \frac{{{b^2}}}{4} + c = 0$

$ \to {(x + \frac{a}{2})^2} + {(y + \frac{b}{2})^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} - c = \frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}$

بدین ترتیب:

بدیهی است که با توجه به مثبت بودن $r$، معادلهٔ ${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$ معادلهٔ یک دایره است اگر و تنها اگر رابطهٔ ${a^2} + {b^2} > 4c$ برقرار باشد. (چرا؟)

اوضاع نسبی خط و دایره

در سال‌های گذشته به‌طور شهودی با اوضاع نسبی خط و دایره آشنا شده‌اید. در این فعالیت قصد داریم به کمک معادلهٔ دایره و خط، این مفاهیم را مرور کنیم.

دایره $C(O,r)$ را در صفحه در نظر بگیرید. با توجه به شکل، به سادگی می‌توان دید که خط و دایره می‌توانند یک، یا دو نقطهٔ اشتراک داشته، یا هیچ نقطهٔ اشتراکی نداشته باشند.

اگر خط $d$ با دایره متقاطع باشد، $OH \lt r$ است.

اگر خط $d$ بر دایره مماس باشد، $OH = r$ است.

اگر خط $d$ دایره را قطع نکند، $OH \gt r$ است.

در حالتی که معادلهٔ دایرهٔ $C(O,r)$ به مرکز $O(\alpha ,\beta )$ و شعاع $r$ در دستگاه مختصات داده شده باشد، می‌توان وضعیت خطوط مختلف صفحه را نسبت به دایره بررسی کرد.

مثال:

وضعیت خط $x + y = 3$ را نسبت به دایرهٔ ${x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0$ مشخص کنید.

حل:

کافی است فاصلهٔ مرکز دایره را از خط داده شده حساب کرده و اندازهٔ آن را با اندازهٔ شعاع دایره مقایسه کنیم.

مرکز دایره از رابطهٔ $O(\frac{{ - a}}{2},\frac{{ - b}}{2})$، نقطهٔ $(1,0)$ و شعاع دایره از رابطهٔ $r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} - 4c} $ برابر است با 2.

از طرفی فاصلهٔ مرکز دایره از خط داده شده برابر است با $d = \frac{{\left| {1(1) + 1(0) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $ و از آنجا که این مقدار از شعاع دایره کمتر است، پس می‌توان چنین نتیجه گرفت که خط داده شده با دایره متقاطع است.

اوضاع نسبی دو دایره

نظیر آنچه برای اوضاع نسبی نقطه و دایره و همین‌طور خط و دایره دیدید، قصد داریم ابتدا به‌طور شهودی وضعیت‌های مختلفی را که دو دایرهٔ دلخواه می‌توانند نسبت به هم داشته باشند، مشخص کنیم و سپس وضعیت دو دایره را نسبت به یکدیگر، در صفحه مختصات و با داشتن معادلهٔ دو دایره بررسی کنیم.

دو دایرهٔ دلخواه $C(O,r)$ و $C'(O',r')$ را با فرض $r \gt r'$ در نظر بگیرید. در جدول زیر حالت‌های مختلف دو دایره نسبت به هم داده شده و در هر مورد، رابطهٔ بین اندازهٔ شعاع‌های دو دایره با اندازهٔ فاصلهٔ بین مرکزهای دو دایره بیان شده است.

پاره‌خطی که مرکزهای دو دایره را به هم وصل می‌کند، خط المرکزین نامیده می‌شود. در اینجا اندازهٔ خط‌المرکزین را با $d$ نمایش داده‌ایم.

دو دایره بیرون هم (متخارج)	$d \gt r + r'$
دو دایره مماس بیرون	$d = r + r'$
دو دایرهٔ متقاطع	$r - r' \lt d lt r + r'$
دو دایرهٔ مماس درون	$d = r - r'$
دو دایرهٔ متداخل	$d \lt r - r'$
دو دایرهٔ هم مرکز	$d = 0$

در حالتی که معادلهٔ دو دایره را داشته باشیم، بدون رسم دو دایره می‌توانیم وضعیت آنها را نسبت به هم مشخص کنیم.

مثال: وضعیت دو دایرهٔ ${x^2} + {y^2} + 6x + 8y = 0$ و ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 12 = 0$ را نسبت به هم مشخص کنید و سپس نمودار دو دایره را رسم کنید.

حل: به کمک آنچه دیدیم، ابتدا مختصات مرکز و طول شعاع هر دایره را پیدا می‌کنیم و سپس با مقایسه مقادیر مجموع و تفاضل دو شعاع با طول خط‌المرکزین، وضعیت دو دایره را نسبت به هم مشخص می‌کنیم.

در دایرهٔ ${x^2} + {y^2} + 6x + 8y = 0$ با پیدا کردن مرکز دایره و اندازهٔ شعاع داریم: مرکز دایره نقطهٔ $O( - 3, - 4)$ و اندازهٔ شعاع برابر 5 است.

به روش مشابه در دایرهٔ ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 12 = 0$، مرکز دایره نقطهٔ $O'(2, - 3)$ و اندازهٔ شعاع $r' = 1$ است.

از طرفی طول خط‌المرکزین برابر است با: $OO' = \sqrt {{{( - 3 - 2)}^2} + {{( - 4 + 3)}^2}}  = \sqrt {26} $ بنابراین از آنجا که داریم: $5 - 1 \lt \sqrt {26}  \lt 5 + 1$ یعنی $r - r' \lt d \lt r + r'$ پس دایره‌های فوق، متقاطع هستند.

رسم دو دایره و بررسی صحت پاسخ به کمک شکل، به دانش آموزان واگذار شده است.